суббота, 18 декабря 2010 г.

Разбор КДР. Задание B3


Тема в кодификаторе: Логика и алгоритмы.
Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания.
Тема в аннотации к КДР: Преобразование логических выражений (с кратким ответом – В).

Обозначения:
а) отрицание (логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬Х),
b) конъюнкция (логическое И) обозначается^  (например, Х ^ Y),
c) дизъюнкция (логическое ИЛИ) обозначается V (например, X V Y),
d) импликация обозначается --> (например, X -->Y)  

Вариант 1.
Известно, что для чисел X, Y и Z истинно высказывание
((Z < X )V (Z < Y))^ ¬(Z+1 < X)^ ¬(Z+1 < Y)
Чему равно Z, если X = 25 и Y = 48?

Решение.

( 1 )^ ¬( 0 )^ ¬( 0 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Вторая и третья часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должны = 0.
Анализируем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
(Z<25)V(Z<48)=1
¬(Z+1<25) преобразуем (Z>=24) =1  
¬(Z+1<48) преобразуем (Z>=47)=1

Истинность 2 и 3 части требует, чтобы в дизъюнкции  (Z<25)V(Z<48) было  истинным только  Z<48, объединяя все условия :
(Z<48)=1     (Z>=24)=1     (Z>=47)=1     получаем, что только Z=47 подходит для всех скобок

Вариант 2.
A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:
((C<A )V (C<B))^ ¬(C+1 < A)^ ¬(C+1 < B)
Чему равно C, если A = 45 и B = 18?

Решение.
( 1 )^ ¬( 0 )^ ¬( 0 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Вторая и третья часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должны = 0.
Анализируем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:

(C<45)V(C<18)=1
¬(C+1 < A) преобразуем (C>=44)=1
¬(C+1 < B) преобразуем (C>=17)=1
Истинность 2 и 3 части требует, чтобы в дизъюнкции  (C<45)V(C<18) было  истинным только(C<45), объединяя все условия :  
(C<45)=1  (C>=44)=1  (C>=17)=1
получаем, что только С=44 подходит для всех скобок.   


Вариант 3
A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B)^ ((B < A)(2C > A)) ^ ((A < B)(A > 2C))
Чему равно A, если C = 8 и B = 18?
Решение.
¬( 0 ) ^ ( 1 ) ^ ( 1 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Первая часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должно = 0.
Преобразуем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
 ¬(А = B) значит (A≠18)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:
(B < A)(2C > A)= ¬(B < A)V(2C >A)=(A<=B)V(A<2C)=(A<=18)V(A<16) 
(A < B)(A > 2C)= ¬(A<B)V(A>2C)=(A>=B)V(A>2C)=(A>=18)V(A>16)  
объединяем все условия :   (A≠18)=1   (A<=18)V(A<16)=1   (A>=18)V(A>16)=1
так как  A≠18, можем преобразовать (A>=18) в (A>18) и  (A>=18) в (A>18) 
 (A≠18)=1   (A<18)V(A<16)=1   (A>18)V(A>16)=1
получаем, что только A=17 подходит для всех скобок.  

Вариант 4.

A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ^ ((A > B)(B > C)) ^ ((B > A)(С > B))
Чему равно В, если A = 45 и C = 43?
Решение.
¬( 0 ) ^ ( 1 ) ^ ( 1 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Первая часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должно = 0.
Преобразуем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
 ¬(А = B) значит (B≠45)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:
(A > B)(B > C)=¬(A>B)V(B>C)=(B>=A)V(B>C)=(B>=45)V(B>43)
(B > A)(С > B)=¬(B > A)V(С > B)=(B<=A)V(C>B)=(B<=45)V(B<43)
объединяем все условия :
(B≠45)=1  (B>=45)V(B>43)=1    (B<=45)V(B<43)=1
так как  A≠18, можем преобразовать (B>=45) в (B>=45)  и   (B<=45) в (B<45) 
(B≠45)=1   (B>45)V(B>43)=1    (B<45)V(B<43)=1
 получаем, что только B=44 подходит для всех скобок.

Комментариев нет:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...