Тема в кодификаторе: Логика и алгоритмы.
Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания.
Тема в аннотации к КДР: Преобразование логических выражений (с кратким ответом – В).
Обозначения:
а) отрицание (логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬Х),
b) конъюнкция (логическое И) обозначается^ (например, Х ^ Y),
c) дизъюнкция (логическое ИЛИ) обозначается V (например, X V Y),
d) импликация обозначается --> (например, X -->Y)
Вариант 1.
Известно, что для чисел X, Y и Z истинно высказывание
((Z < X )V (Z < Y))^ ¬(Z+1 < X)^ ¬(Z+1 < Y)
Чему равно Z, если X = 25 и Y = 48?
Решение.
( 1 )^ ¬( 0 )^ ¬( 0 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Вторая и третья часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должны = 0.
Анализируем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
(Z<25)V(Z<48)=1
¬(Z+1<25) преобразуем (Z>=24) =1
¬(Z+1<48) преобразуем (Z>=47)=1
Истинность 2 и 3 части требует, чтобы в дизъюнкции (Z<25)V(Z<48) было истинным только Z<48, объединяя все условия :
(Z<48)=1 (Z>=24)=1 (Z>=47)=1 получаем, что только Z=47 подходит для всех скобок
Вариант 2.
A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:
((C<A )V (C<B))^ ¬(C+1 < A)^ ¬(C+1 < B)
Чему равно C, если A = 45 и B = 18?
Решение.
( 1 )^ ¬( 0 )^ ¬( 0 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Вторая и третья часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должны = 0.
Анализируем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
(C<45)V(C<18)=1
¬(C+1 < A) преобразуем (C>=44)=1
¬(C+1 < B) преобразуем (C>=17)=1
Истинность 2 и 3 части требует, чтобы в дизъюнкции (C<45)V(C<18) было истинным только(C<45), объединяя все условия :
(C<45)=1 (C>=44)=1 (C>=17)=1
получаем, что только С=44 подходит для всех скобок.
(C<45)=1 (C>=44)=1 (C>=17)=1
получаем, что только С=44 подходит для всех скобок.
Вариант 3
A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B)^ ((B < A)→(2C > A)) ^ ((A < B)→(A > 2C))
Чему равно A, если C = 8 и B = 18?
Решение.
¬( 0 ) ^ ( 1 ) ^ ( 1 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Первая часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должно = 0.
Преобразуем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:
¬(А = B) значит (A≠18)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:
(B < A)→(2C > A)= ¬(B < A)V(2C >A)=(A<=B)V(A<2C)=(A<=18)V(A<16)
¬(А = B) значит (A≠18)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:
(B < A)→(2C > A)= ¬(B < A)V(2C >A)=(A<=B)V(A<2C)=(A<=18)V(A<16)
(A < B)→(A > 2C)= ¬(A<B)V(A>2C)=(A>=B)V(A>2C)=(A>=18)V(A>16)
объединяем все условия : (A≠18)=1 (A<=18)V(A<16)=1 (A>=18)V(A>16)=1
так как A≠18, можем преобразовать (A>=18) в (A>18) и (A>=18) в (A>18)
(A≠18)=1 (A<18)V(A<16)=1 (A>18)V(A>16)=1
получаем, что только A=17 подходит для всех скобок.
Вариант 4.
¬(А = B) значит (B≠45)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:(A > B)→(B > C)=¬(A>B)V(B>C)=(B>=A)V(B>C)=(B>=45)V(B>43)
(B > A)→(С > B)=¬(B > A)V(С > B)=(B<=A)V(C>B)=(B<=45)V(B<43)
объединяем все условия :
(B≠45)=1 (B>=45)V(B>43)=1 (B<=45)V(B<43)=1
так как A≠18, можем преобразовать (B>=45) в (B>=45) и (B<=45) в (B<45)
(B≠45)=1(B>45)V(B>43)=1 (B<45)V(B<43)=1
получаем, что только B=44 подходит для всех скобок.
так как A≠18, можем преобразовать (A>=18) в (A>18) и (A>=18) в (A>18)
(A≠18)=1 (A<18)V
получаем, что только A=17 подходит для всех скобок.
Вариант 4.
A, B и С – целые числа, для которых истинно высказывание
¬(А = B) ^ ((A > B)→(B > C)) ^ ((B > A)→(С > B))
Чему равно В, если A = 45 и C = 43?
Решение.
¬( 0 ) ^ ( 1 ) ^ ( 1 )=1
Выражение будет истинным, если каждая часть конъюнкции = 1. Первая часть – отрицание выражения в скобке, значит выражение в скобке должно = 0.
Преобразуем каждую часть конъюнкции, подставляя известные значения:¬(А = B) значит (B≠45)
импликацию заменяем на отрицание и дизъюнкцию:
(B > A)→(С > B)=¬(B > A)V(С > B)=(B<=A)V(C>B)=(B<=45)V(B<43)
объединяем все условия :
(B≠45)=1 (B>=45)V(B>43)=1 (B<=45)V(B<43)=1
так как A≠18, можем преобразовать (B>=45) в (B>=45) и (B<=45) в (B<45)
(B≠45)=1
получаем, что только B=44 подходит для всех скобок.
Комментариев нет:
Отправить комментарий